3つの扉のうち、1つだけに豪華な賞品が隠されています。
あなたが1つの扉を選ぶと、司会者が残りの扉から外れの扉を1つ開けました。
そして、こう尋ねます。
「最初に選んだ扉を、もう1つの閉じた扉に変更しますか？」
残った扉は2つ。どちらを選んでも50％に思えますよね。
ところが、扉を変えない場合の当選確率は約33.3％、変えた場合は約66.7％！
この不思議な確率の問題を「モンティ・ホール問題」と呼びます。
なぜ、扉を変えるだけで当選確率が2倍になるのでしょうか？
モンティ・ホール問題とは？3つの扉のルール
まず、ゲームのルールを確認しましょう。
- 3つの扉のうち、1つだけに賞品が隠されている。
- あなたは3つの扉から1つを選ぶ。
- 司会者が、あなたの選ばなかった扉から外れの扉を1つ開ける。
- あなたは最初の扉を選び続けるか、残った別の扉に変更するかを決める。
ただし、重要な条件があります。
司会者は賞品の場所を知っていて、必ず外れの扉を開け、必ず変更する機会を与えてくれます。
最初に賞品がどの扉にあるかは、どれも同じ確率です。
この条件で考えると、扉を変える方が当たりやすくなります。
なぜ扉を変えると当選確率が2倍になる？
例えば、あなたが最初に「扉A」を選んだとしましょう。
賞品の場所は、A・B・Cの3通りです。
| 賞品の場所 | 最初のAを選び続ける | 別の扉に変更する |
|---|---|---|
| 扉A | 当たり | 外れ |
| 扉B | 外れ | 当たり |
| 扉C | 外れ | 当たり |
※司会者は必ず、賞品のない扉を開けます。
表を見ると、最初の扉を選び続けて当たるのは3通りのうち1通りだけ。
一方、変更すると3通りのうち2通りで当たります。
つまり、
変更しない：1/3（約33.3％）
変更する：2/3（約66.7％）
となります。
最初に外れを選ぶ確率は2/3です。
そして、最初に外れを選んでいた場合、司会者がもう1つの外れを開けるため、残った別の扉には必ず賞品があります。
だから、最初の選択が外れだった2/3のケースで、扉を変更すると当たるのです。
残った扉は2つなのに、なぜ50％ずつじゃない？
ここがモンティ・ホール問題の最大の落とし穴です。
最初にあなたが選んだ扉の当選確率は1/3。
選ばなかった2つの扉に賞品がある確率は、合わせて2/3です。
司会者は、その2つの中から賞品のない扉を必ず開けます。
そのため、最初に選ばなかった2つの扉が持っていた2/3の確率は、残された1つの扉に集まります。
残った扉が2つでも、当選確率が同じとは限らないのです。
扉が100個だったら？
3つではなく、100個の扉があると考えてみましょう。
あなたが1つ選んだ後、司会者が残り99個の中から外れの扉を98個開けます。
残るのは、あなたが最初に選んだ扉と、もう1つの扉だけ。
この場合、
- 最初の扉を選び続ける：1％
- 残った別の扉に変更する：99％
となります。
100個の扉なら、変更した方が有利だと感じやすいのではないでしょうか？
3つの扉でも、考え方は同じです。
注意！司会者の行動が違えば答えも変わる
モンティ・ホール問題の答えが2/3になるのは、司会者の行動に決まったルールがあるからです。
例えば、司会者が賞品の場所を知らず、ランダムに扉を開けたとします。
その結果、たまたま外れの扉が開いた場合には、標準的な問題とは条件が変わります。
この場合、残った2つの扉の当選確率は、それぞれ1/2になります。
大切なのは、残った扉の数だけでなく、司会者がどのようなルールで扉を開けたかを確認すること。
確率は、条件によって答えが変わるのです。
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関連記事｜ほかにもある！直感を裏切る確率の問題
モンティ・ホール問題のように、直感と数学の答えが食い違う現象は、ほかにもあります。
例えば、たった23人のグループで誰か2人の誕生日が一致する確率は約50.7％。なぜそんなに高い確率になるのかは、下記の記事で解説しています。
また、何度も外れが続くと「次こそ当たる」と思ってしまう心理も、確率の落とし穴の一つです。
下記の記事もあわせて読んでみてください。
まとめ｜モンティ・ホール問題は扉を変える方が有利！
モンティ・ホール問題では、最初に選んだ扉を変える方が当たりやすくなります。
- 変更しない場合：1/3（約33.3％）
- 変更する場合：2/3（約66.7％）
その理由は、最初に選んだ扉が外れである確率が2/3だからです。
司会者が必ず外れの扉を開けてくれるため、最初に外れを選んでいた場合は、扉を変えることで当たりを選べます。
「残り2つだから50％ずつ」と考えず、そこに至るまでの条件を考える。
これが、モンティ・ホール問題から学べる数学の面白さです。
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