地図や図形を2倍に拡大したら、面積は何倍になると思いますか？
「2倍に拡大したんだから、面積も2倍でしょ！」
そう考えた人もいるかもしれません。
ところが、正解は4倍です。
実は、図形の縦と横をそれぞれ2倍にすると、面積は2×2＝4倍になります。
今回は、身近な地図を例に、長さと面積の意外な関係を解説します。
地図を2倍に拡大すると、なぜ面積は4倍？
まずは、縦2cm、横3cmの長方形を考えてみましょう。
面積は、
2×3＝6cm²
です。
では、この長方形を縦横ともに2倍に拡大すると、どうなるでしょうか？
縦は4cm、横は6cmになります。
拡大後の面積は、
4×6＝24cm²
です。
元の面積と比べると、
24÷6＝4
つまり、面積は4倍になりました。
なぜでしょうか？
それは、縦が2倍になるだけでなく、横も2倍になるからです。
面積は「縦×横」で求めます。
そのため、
2倍×2倍＝4倍
となるのです。
ここでいう「2倍に拡大」とは、図形の対応する長さをすべて2倍にすることを意味します。
正方形で見ると一目瞭然！1個が4個になる
もう少し直感的に考えてみましょう。
一辺が1cmの正方形があります。
その面積は、
1×1＝1cm²
です。
この正方形の一辺を2倍にすると、一辺2cmの正方形になります。
面積は、
2×2＝4cm²
です。
つまり、元の正方形が4個入る大きさになりました。
縦に2個、横に2個並ぶので、
2×2＝4個
というわけです。
これなら、面積が4倍になる理由を目で見て理解できますね。
3倍なら9倍、10倍なら100倍！面積の法則
この関係は、2倍のときだけではありません。
図形を縦横ともに3倍にすると、面積は、
3×3＝9倍
になります。
10倍にすると、
10×10＝100倍
です。
表にまとめると、次のようになります。
| 長さの拡大率 | 面積の倍率 |
|---|---|
| 2倍 | 4倍 |
| 3倍 | 9倍 |
| 4倍 | 16倍 |
| 5倍 | 25倍 |
| 10倍 | 100倍 |
規則が見えてきましたね。
面積の倍率＝長さの倍率×長さの倍率
です。
数学では、これを次のように表します。
面積の倍率＝拡大率²
この「²」は「2乗」と読み、同じ数を2回掛けることを意味します。
例えば、拡大率が3倍なら、
3²＝3×3＝9
となります。
この法則は、正方形や長方形だけでなく、三角形や円など、形を変えずに拡大した平面図形にも成り立ちます。
地図の面積が4倍になっても、実際の土地は変わらない！
ここで、地図ならではの注意点があります。
例えば、紙に印刷された地図をコピー機で200％に拡大したとしましょう。
地図上の縦横の長さは、それぞれ2倍になります。
そのため、地図上に描かれた地域の面積も4倍になります。
しかし、地図が表している実際の土地の面積は変わりません。
大きくなるのは、あくまで紙の上に描かれた図形です。
また、地図を2倍に拡大すると、縮尺も変わります。
例えば、縮尺1：10,000の地図を縦横ともに2倍に拡大すると、縮尺は1：5,000になります。
同じ実際の距離を、紙の上では2倍の長さで表すことになるからです。
「図形の拡大」と「実際の土地の大きさ」を区別することが大切ですね。
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まとめ｜長さが2倍なら、面積は4倍！
今回のポイントを振り返りましょう。
- 図形の縦横を2倍にすると、面積は4倍になる。
- 面積は「縦×横」なので、2×2＝4倍になる。
- 長さが3倍なら面積は9倍、10倍なら100倍になる。
- 面積の倍率は「長さの拡大率の2乗」で求められる。
- 地図を拡大しても、実際の土地の面積は変わらない。
長さが2倍だからといって、面積も2倍になるわけではありません。
縦と横の両方が変わるからこそ、面積は4倍になるのです。
身近な地図や図形にも、こんな数学の法則が隠れています。
次に地図や写真を拡大するときは、ぜひ「面積は何倍になるかな？」と考えてみてください。
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